Question

证明函数f(x)=x的平方+1在(-∞,0)上是减函数

Answer 1

证明：设x1、x2是区间(-∞,0)上的任意两点且x1<x2，则
f(x1)=(x1)^2+1，f(x2)=(x2)^2+1
于是f(x1)-f(x2)=(x1)^2-(x2)^2=(x1+x2)(x1-x2)
因为x1<x2<0，所以x1+x2<0，x1-x2<0，故(x1+x2)(x1-x2)>0，即f(x1)>f(x2)
因此函数f(x)=x^2+1在(-∞,0)上是减函数。

Answer 2

由f（x）=x²+1，
设x1＜x2＜0， f（x1）-f（x2)
=x1²+1-（x2²+1）
=x1²-x2²
=（x1+x2)（x1-x2）
∵x1+x2＜0，x1-x2＜0，
∴（x1+x2)（x1-x2)＞0，
∴f（x1)＞f（x2)
所以在x∈（-∞，0）时，自变量小的函数值大，即f（x）=x²+1在x∈（-∞，0）上是减函数。
证毕。

Answer 3

设任意实数X1
X2满足X1
X2属于（—∞，0）且X1＜X2则：f(x1)-f(x2)=x1²-x2²=(x1+x2)(x1-x2)∵X1
X2属于（—∞，0）∴（X1+X2)＜0又因为X1-X2＜0所以f(x1)-f(x2)＞0所以F（X）为减函数