Question

已知函数f(x)=1/2*ax^2-lnx,若f(x)>=1恒成立,求a范围

Answer 1

f(x)的定义域为 x>0
f(x)的导数为 ax-1/x
当导数等于0时取得极值。此时有 ax=1/x x^2=1/a （由此a>0）
当x=√(1/a)时 导数为0
当x<√(1/a)时 导数ax-1/x<0，函数f(x)单调递减。
当x>√(1/a)时 导数ax-1/x>0，函数f(x)单调递增。
故f(x)在x=√(1/a)时取得极小值。而f(x)>=1
故f（√(1/a)）>=1。
f（√(1/a)）=1/2-1/2ln(1/a)=1/2+1/2 lna>=1
由此：
lna>=1
a>=e

Answer 2

解：函数f(x)=1/2*ax^2-lnx x＞0
当a=0时显然不满足条件
当a≠0时
f'(x)=ax-1/x=(ax²-1)/x
∴当0＜x＜1/√a时 函数单调递减
当x＞1/√a时 函数单调递增
∴函数的最小值为f(1/√a)=1/2-ln(1/√a)
∵f(x)>=1恒成立
∴1/2-ln(1/√a)≥1
解得a≥e。

Answer 3

求导，f=ax-1/x=(ax^2-1)/x，a<0,只有最大，a>0