Question

已知函数fx=（1\a）-（1\x）(a>0,x>0)

已知函数fx=（1\a）-（1\x）(a>0,x>0)fx在（0，+∞）上是增函数。
（1）：若fx 在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n），求a的取值范围。

Answer 1

解：已经知道f(x)是增函数，因此f(x)在[m，n]上的值域是[f(m)，f(n)]，即
1/a－1/m＝m
1/a－1/n＝n。
于是题目要求x+1/x＝1/a有两个正数解即可。
化为x^2－x/a+1＝0有两个正数解x1，x2。
由韦达定理，x1+x2＝1/a>0，x1*x2=1>0，解得a>0。另外
判别式>0，即1/a^2－4>0。解得－1/2<a<1/2。
综上有0<a<1/2。

Answer 2

解：∵函数f(x)在（0，+∞）上是增函数
且f(x) 在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n）
∴f(m)=m f(n)=n
即m，n是方程f(x)=x的两不相等的实根
方程为x²-(1/a)x+1=0有两个不相等的实根
∴△=1/a²-4＞0
解得-1/2＜a＜1/2
∵a＞0
∴a的取值范围为0＜a＜1/2.

Answer 3

由f(m)=(1/a)-(1/m)=m可知：am^2-m+a=0，若m≠n存在，则:1^2-4a*a>0，-1/2<a<1/2；
又限制a>0，所以0<a<1/2；

Answer 4

x>0
-1/x递增
所以f(x)是增函数
所以f(m)=m,f(n)=n
1/a-1/m=m
1/a-1/n=n
即
am²-m+a=0
an²-n+a=0
所以就是方程ap²-p+a=0有两个解
△=1-4a²>0
a²<1/4
所以0<a<1/2