Question

已知数列{an},其中a1=1,an+1=2an-3^n，求an 的通项公式

Answer 1

令Cn=an/3^n
a(n+1)/3^(n+1)=(2/3)an/3^n-1/3

则C(n+1)=2/3Cn-1/3
C(n+1)+1=(2/3)(Cn+1)
则
{Cn+1}是等比数列 首项 C1+1=a1/3+1=4/3 公比q=2/3
Cn+1=(4/3)(2/3)^(n-1)
Cn=(4/3)(2/3)^(n-1)-1
即an/3^n=(4/3)(2/3)^(n-1)-1
an=4*2^(n-1)-3^n=2^(n+1)-3^n

Answer 2

an+1=2an-3^n
∴a(n+1)+3^(n+1)=2[an+3^n]
∴[a(n+1)+3^(n+1)]/(an+3^n)=2
∴{an+3^n}为等比数列，公比为2
首项为a1+3=1+3=4
∴an+3^n=4*2^(n-1)=2^(n+1)
∴an=2^(n+1)-3^n
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Answer 3

an+1=2an-3^n
an=1+3^n

Answer 4

令
an+1-k*3^(n+1)=2(an-k*3^n)
an+1=2an-2k*3^n+3k*3^n
an+1=2an+k*3^n
k=-1
an+1+3^(n+1)=2(an+3^n)
{an+3^n}为以4为首项,2为公比的等比数列
an+3^n=4*2^(n-1)
an=2^(n+1)-3^n