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如图所示,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,∠ADB=60度,E是AD上的一
如图所示,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,∠ADB=60度,E是AD上的一点,且有DE=DB,求证:AE=BE+BC不要用高线的方法,那个方法还木有学...
如图所示,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,∠ADB=60度,E是AD上的一点,且有DE=DB,求证:AE=BE+BC
不要用高线的方法,那个方法还木有学,不要太麻烦,感谢~ 展开
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证明:
延长DC到F,使CF=BD,再连接AF
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABD=∠ACF
∴△ABD≌△ACF
故,AD=AF,
又∠ADB=60º
∴△ADF是等边三角形,
∴AD=DF
AD=AE+DE,
DF=DB+BC+CF
又DE=DB,且∠ADB=60º
△DEB也是等边三角形。
∴DE=BE=DB=CF
AE+DE=BE+BC+DE
因此,AE=BE+BC.
延长DC到F,使CF=BD,再连接AF
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABD=∠ACF
∴△ABD≌△ACF
故,AD=AF,
又∠ADB=60º
∴△ADF是等边三角形,
∴AD=DF
AD=AE+DE,
DF=DB+BC+CF
又DE=DB,且∠ADB=60º
△DEB也是等边三角形。
∴DE=BE=DB=CF
AE+DE=BE+BC+DE
因此,AE=BE+BC.
追问
全等条件?
追答
AB=AC
CF=BD
∠ABD=∠ACF
∴△ABD≌△ACF(边角边)
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因为DE=DB,且∠ADB=60度,所以△EDB是等边三角形,所以BE=DB=DE。则BE+BC=DB+BC=DC
找出BC中点为F,连接AF(自己作图吧!)。因为△ABC中,AB=AC,所以BF=CF=0.5BC,且AF垂直于BC。
在直角三角形AFD中,∠ADB=60度,则cos∠ADB=DF/AD=(DB+BF)/AD=(DB+0.5BC)/(AE+DE)=(DE+0.5BC)/(AE+DE)=1/2,得出AE=BC+DE=BC+BE。
或者:不必做任何辅助线,直接用余弦定理求解。
在△ADB中,cos∠D=cos60°=1/2=(AD^2+DB^2-AB^2)/2AD.DB,即:AD^2+DB^2-AB^2=AD.DB......(1)
在△ADC中,cos∠D=cos60°=1/2=(AD^2+DC^2-AC^2)/2AD.DC且AC=AB,即:AD^2+DC^2-AB^2=AD.DC......(2)
由(2)-(1)得到:(DC+DB)(DC-DB)=AD(DC-DB)=(AE+DE)(DC-DB)
化简,得到:DC+DB=BC+2DB=AE+DE
由于DB=DE=BE(因为△EDB中,DB=DE且∠D=60°,所以它是等边三角形),所以BC+BE=AE。
找出BC中点为F,连接AF(自己作图吧!)。因为△ABC中,AB=AC,所以BF=CF=0.5BC,且AF垂直于BC。
在直角三角形AFD中,∠ADB=60度,则cos∠ADB=DF/AD=(DB+BF)/AD=(DB+0.5BC)/(AE+DE)=(DE+0.5BC)/(AE+DE)=1/2,得出AE=BC+DE=BC+BE。
或者:不必做任何辅助线,直接用余弦定理求解。
在△ADB中,cos∠D=cos60°=1/2=(AD^2+DB^2-AB^2)/2AD.DB,即:AD^2+DB^2-AB^2=AD.DB......(1)
在△ADC中,cos∠D=cos60°=1/2=(AD^2+DC^2-AC^2)/2AD.DC且AC=AB,即:AD^2+DC^2-AB^2=AD.DC......(2)
由(2)-(1)得到:(DC+DB)(DC-DB)=AD(DC-DB)=(AE+DE)(DC-DB)
化简,得到:DC+DB=BC+2DB=AE+DE
由于DB=DE=BE(因为△EDB中,DB=DE且∠D=60°,所以它是等边三角形),所以BC+BE=AE。
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延长DC到点F,使得FC=DB
连接AF
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABD=∠ACF
∴△ADB≌△AFC,∴AD=AF
∵∠ADB=60°
∴△ADF是等边三角形
∴AD=DF
∴AE+DE=DB+BC+FC .........①
又∵∠ADB=60°,DE=DB
∴△EDB是等边三角形
∴DE=DB=BE=FC....................②
由①和②可得AE=BE+BC
连接AF
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABD=∠ACF
∴△ADB≌△AFC,∴AD=AF
∵∠ADB=60°
∴△ADF是等边三角形
∴AD=DF
∴AE+DE=DB+BC+FC .........①
又∵∠ADB=60°,DE=DB
∴△EDB是等边三角形
∴DE=DB=BE=FC....................②
由①和②可得AE=BE+BC
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如图,△ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,角∠ADB=60°,E是AD
上一点,且DE=DB,求证:AE=BE+BC.
(请考虑多种证法)
上一点,且DE=DB,求证:AE=BE+BC.
(请考虑多种证法)
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延长DC到点M,使得CM=DB
连接AM
显然△ADB与△AMC全等
剩下就简单啦
连接AM
显然△ADB与△AMC全等
剩下就简单啦
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