Question

高数 极限运算

limf(x)=+00 limg(X)=+00 limh(x)=A 为什么
lim(f(x)+g(x))=+00 和 lim(f(x)+h(x))=+00 lim(f(x)g(x))=+00都正确？ 不是根据极限运算法则 无穷大或极限不存在的时候不能怎么做啊？

Answer 1

在问题中说，“根据极限运算法则，无穷大或极限不存在的时候不能这么做”，这句话说得对。
在追问中说，“极限的运算准则 要求就是 极限存在 他们等于+∞不行”，这句话也说得对。
lim(f(x)+g(x))=+∞ 和 lim(f(x)+h(x))=+∞ 和 lim(f(x)g(x))=+∞ 确实都正确，
它们正确的依据，不是根据极限运算法则，而是根据极限的定义可以证明出来。

追问

能 详细说下 每个是怎么推导出来的嘛？

追答

你是说
lim(f(x)+g(x))=+∞ 和 lim(f(x)+h(x))=+∞ 和 lim(f(x)g(x))=+∞的证明过程吗

追问

对 你不是说用定义证明出来嘛 能详细写下过程吗 还有这个也可以当个推论来用嘛？

追答

①以下证明lim(f(x)+g(x))=+∞，其他同理可证。

②证明lim(f(x)+g(x))=+∞：
假定所取极限是在点x0处的极限，即x→x0时的极限
【如果是x→∞时的极限，用相应的定义同理可证】
则，对任意大的M>0，因为limf(x)=+∞，所以，总存在δ1>0，当┃x-x0┃M/2★
同理，因为limg(x)=+∞，所以，对上述M>0，总存在δ2>0，当┃x-x0┃M/2▲
于是，对任意大的M>0，总存在δ=max{δ1，δ2}>0，当┃x-x0┃M，此即lim(f(x)+g(x))=+∞得证。

③证明了的结论就可以用啦。

Answer 2

极限不存在的时候加法不是一定不正确而是不一定正确，你说的这三种是恰好正确的
拿极限的定义验证一下就知道了

追问

但是极限的运算准则 要求就是 极限存在啊 他们等于+00 不是不行吗？

追答

极限存在说明可以像普通的加减乘除那样进行极限运算
极限不存在就用你贴的这些定理

追问

但是 这些不是定理啊 应该用什么解决？

追答

这些都是可以从极限的定义推导出来作为定理和引理使用的啊

追问

额 怎么推导的啊 能详细说下嘛 我完全糊涂了 学会了 给高分 谢谢了

追答

就是定义啊……比如第一个
假定所有极限都是在x0点的极限

由lim(f)=+inf，lim(g)=+inf，得：对任意a，有d1，d2使得x与x0的距离分别小于d1，d2时，f＞a/2，g＞a/2，取d=min(d1,d2)，则x与x0距离小于d时，f>a/2，g>a/2，故f+g>a，由极限定义即得lim(f+g)=+inf
另外几个证明都差不多

因为无穷大极限的定义嘛

x0处lim(f)=+inf
等价于
对任意a，存在d使x与x0距离小于d时f>a

Answer 3

主要是不能limf(x)/g(x)。这个可能不存在。

Answer 4

用极限法是成立的，运算公式也是成立的，你可以随意带数字进去试试