Question

如图，AD为△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD（过中线所对的边的两端点向中线作垂线构造全等三角形）

Answer 1

证明：过B、C点作AD垂线，即BE、CF。因斜边BD=DC，角EDB=角FDC，故两个直角三角形EDB、FDC全等，相应边ED=FD。2*AD=AD+（AF+FD）=AF+（AD+FD）=AF+（AD+ED）=AF+AE。

容易有直角三角形ABE、ACF的斜边大于其各自的直角边，得AB>AE，AC>AF；即得AB+AC>AE+AF。所以AB+AC>2*AD

Answer 2

证明：延长AD至E使得ED=AD,连接BE
因为BD=DC,∠ADC=∠BDE,AD=D
所以△ADC≌ △BDE
所以BE=AC
在 △ADE中
AB+BE＞AE
即AB+AC＞2AD