如图所示,△ABC是等边三角形,D是△ABC外一点,且∠BDC=120°,求证:BD+CD=AD
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证明:
延长BD到E点,使DE=DC,
∵∠BDC=120度,所以∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形
∴∠ECD=60度,CD=CE
∵∠BCE=∠ACD,又△ABC是等边三角形,AC=BC,
∴ACD≌△BCE
∴AD=BE=BD+DE=BD+DC
方法二:延长DB至E,使得DE=DA,连接AE
(第一步证明 △AED为等边三角形,这样就可以将所求证的问题转化,为下一步做准备)
由于∠EDA为60度,DE=DA,所以 △AED为等边三角形(由这个结果可以得出隐含条件AD=AE=DE)
(第二步证明 △AEB和 △ADC全等,这样就可以将CD“挪动”到BE处,和BD连接起来,从而达到求证结果)
因为AE=AD(第一步证明得出的隐含条件),AC=AB(题目中说 △ABC为等边三角形的隐含条件),∠EAB=∠DAC(因为∠EAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=60度),所以 △AEB与 △ADC全等(两边夹一角定理),所以CD=BE(最后证明结论)
所以AD=DE=BD+BE=BD+CD,即AD=BD+CD,证明完毕
延长BD到E点,使DE=DC,
∵∠BDC=120度,所以∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形
∴∠ECD=60度,CD=CE
∵∠BCE=∠ACD,又△ABC是等边三角形,AC=BC,
∴ACD≌△BCE
∴AD=BE=BD+DE=BD+DC
方法二:延长DB至E,使得DE=DA,连接AE
(第一步证明 △AED为等边三角形,这样就可以将所求证的问题转化,为下一步做准备)
由于∠EDA为60度,DE=DA,所以 △AED为等边三角形(由这个结果可以得出隐含条件AD=AE=DE)
(第二步证明 △AEB和 △ADC全等,这样就可以将CD“挪动”到BE处,和BD连接起来,从而达到求证结果)
因为AE=AD(第一步证明得出的隐含条件),AC=AB(题目中说 △ABC为等边三角形的隐含条件),∠EAB=∠DAC(因为∠EAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=60度),所以 △AEB与 △ADC全等(两边夹一角定理),所以CD=BE(最后证明结论)
所以AD=DE=BD+BE=BD+CD,即AD=BD+CD,证明完毕
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