Question

已知二次函数y=-1/2x+bx+c的图象经过A(2,0)、B(0,6)和C（-6,0）三点。

已知二次函数y=-1/2x+bx+c的图象经过A(2,0)、B(0,6)和C（-6,0）三点，求在直线BC上方的抛物线上找一点m，使S△MBC面积最大
（真的没有图哦）。很急的。 各位高手帮帮忙啦。尽量详细一点的解释哦。谢谢！

Answer 1

已知二次函数y=-1/2x+bx+c的图象经过A(2,0)、B(0,6)和C（-6,0）三点，求在直线BC上方的抛物线上找一点m，使S△MBC面积最大
解析：∵二次函数f(x)=-1/2x^2+bx+c的图象经过A(2,0)、B(0,6)和C（-6,0）三点
-2+2b+c=0
C=6
-18-6b+c=0
联立解得b=-2,c=6
∴f(x)=-1/2x^2-2x+6
BC斜率=(0-6)/(-6-0)=1
∴S△MBC面积最大时，BC边上的高最大，BC边上的高最大值=BC弧上某点切线与BC最大距离，当某点切线与BC平行时，距离最大
令f’(x)=-x-2=1==>x=-3
∴M(-3,f(-3))=M(-3,15/2)
BC=6√2
BC方程：x-y+6=0（到这都一样）
M到BC距离d=|-3-15/2+6)/ √2=9√2/4（x-y+6=0是减号）
∴S△MBC面积最大值=1/2*6√2*9√2/4=27/2
在推荐答案上补充的 他算错了.....

Answer 2

已知二次函数y=-1/2x+bx+c的图象经过A(2,0)、B(0,6)和C（-6,0）三点，求在直线BC上方的抛物线上找一点m，使S△MBC面积最大
解析：∵二次函数f(x)=-1/2x^2+bx+c的图象经过A(2,0)、B(0,6)和C（-6,0）三点
-2+2b+c=0
C=6
-18-6b+c=0
联立解得b=-2,c=6
∴f(x)=-1/2x^2-2x+6
BC斜率=(0-6)/(-6-0)=1
∴S△MBC面积最大时，BC边上的高最大，BC边上的高最大值=BC弧上某点切线与BC最大距离，当某点切线与BC平行时，距离最大
令f’(x)=-x-2=1==>x=-3
∴M(-3,f(-3))=M(-3,15/2)
BC=6√2
BC方程：x-y+6=0
M到BC距离d=|-3+15/2+6)/ √2=21√2/4
∴S△MBC面积最大值=1/2*6√2*21√2/4=63/2

Answer 3

c = 6， b = -2；
原点为O；设M(x,y)在X轴上投影为N(x,0)
Smbc = Smcn + Smbob - Sboc
= (x - (-6)) * (-1/2x^2-2x+6) / 2 + ((1/2x^2-2x+6) + 6) * (-x) / 2 - 1/2 * 6 * 6

= -3/2x^2 - 6x

x = -2时Smbc取最大值， 即M(-2, 8)
max(Smbc) = 6

Answer 4

首先通过待定系数法，将三个点A(2,0)、B(0,6)和C（-6,0）分别代入函数y=-1/2x^2+bx+c，可以得到三个式子求解。比较巧的方法是先将B点代入直接求出c=6,然后由A、B两点可以看出对称轴是x=-2，所以b=-2。此时可以得出函数表达式为y=-1/2x^2-2x+6；
直线BC的方程容易求得为y=x+6.要求面积最大，只需高最大，故可以利用点到直线的距离公式求解。d=|x-y+6|/(2^1/2),将Y代入易得分母为|1/2(x+3)^2-9/2|，因为要求在BC上方求点，所以x只能为0到-6，显然x=-3，所以点M为(-3,15/2)。
奇怪的是，按照计算x=0和x=-6也可以距离最大，但这两点就是BC，距离应该为0，我一时没搞懂。
一楼的方法也不错，但是计算稍微复杂，且表示有误，应该为Smbon