Question

已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A、B两点，若动点P(a,b)在线段AB上，则ab的最大值是？

Answer 1

解: 依题意, 化直线为截距式, 得 x/2 + y = 1 得 A(2,0), B(0,1)

方法一：化作二次函数
因为 P(a, b)在直线 x + 2y = 2 上,
所以 它的坐标 满足方程
得 a + 2b = 2
即 a = 2 - 2b

而 ab = (2 - 2b)*b
= -2b² + 2b
= -2(b - 1/2)² + 1/2

当 b = 1/2 (a = 1时, 此点在线段AB上)
有 最大值 1/2

方法二：利用基本不等式
a + 2b ≧ 2√(a*2b)
2 ≧ 2√(a*2b) (从上面方法一中得知 a + 2b = 2)
1 ≧ √(a*2b)
1 ≧ 2ab
ab ≦ 1/2

当且仅当 a = 2b时, 不等式取得等号
得 a = 1, b = 1/2 (符合) 所以亦得最大值 1/2

Answer 2

A(2,0)、B(0,1)
AB直线方程：y=-1/2(x-2)=-x/2+1
动点P(a,b)在线段AB上：b=-a/2+1 (0=<a<=2 0=<b<=1)
ab=a(-a/2+1)
=-a²+a
=-(a-1/2)²+1/4
开口向下，ab有最大值为1/4

Answer 3

48