Question

已知数列{an}是等差数列,公差d>0,前n项和Sn=【(an+1)/2】^2,bn=(-1)^n*Sn,求数列{bn}的前n项和Tn

Answer 1

当 n=1 时，a1=S1=(a1+1)^2/4 ，解得 a1=1 ，
当 n>=2 时，an=Sn-S(n-1)=1/4*[(an+1)^2-(a(n-1)+1)^2] ，
化简得 (an-1)^2-[a(n-1)+1]^2=0 ，
分解得 [an+a(n-1)]*[an-a(n-1)-2]=0 ，
由于数列各项为正数，所以 an+a(n-1)>0 ，则 an-a(n-1)=2 ，
这说明，｛an｝是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列 ，
所以 an=2n-1 ，Sn=n^2 ，
由此得 bn=(-1)^n*Sn=(-1)^n*n^2 ，

当 n=2k-1 为奇数时，
Tn=(S2-S1)+(S4-S3)+.....+[S(2k-2)-S(2k-3)] -S(2k-1)

=a2+a4+...+a(2k-2)-S(2k-1)
=3+7+......+(4k-5)-(2k-1)^2
=(4k-2)*(k-1)/2-(2k-1)^2
= -(2k-1)k；
当 n=2k 为偶数时，
Tn=(S2-S1)+(S4-S3)+.....+[S(2k)-S(2k-1)]
=3+7+.......+(4k-1)
=(4k+2)k/2
=k(2k+1) ，
化简可得 Tn=(-1)^n*n(n+1)/2 。