Question

涉及概率论的一道题，求解答！！

前方开来了一辆帝国火车，而你是一位反叛军坦克驾驶员，你有发射的炮弹可以将火车打成两截。目前已经知道，帝国火车有100米长，为了保证在帝国援军赶来之前迅速地夺取物资，你的指挥官吉姆·雷诺希望你能让断开的每一截火车都保持在10米以上的长度。
然而你的瞄准系统出现了故障，坦克只能在整列火车上随机选取一点，用一发炮弹将火车打成两段。然后在这两段火车上各自再随机选取一点，发射剩下的两发炮弹，将火车分成4段。那么请问，你这3次射击之后，分成4段的火车其长度能够满足指挥官的要求的概率是多少？
我不要答案，要知道怎么算的！！！

Answer 1

设火车车身为[0,100], 设第一炮弹落在 x点。设第二炮弹落在 y点。设第三炮弹落在 z点。
0<=y<=x<=z<=100
满足要求必须有： 20<= x <= 80, 10<= y <= x-10, x+10<=z<=90
给定x， 第二炮弹有效的概率是= y的有效值 / y的可能值= （x-20）/x
第三炮弹有效的概率是= z的有效值 / z的可能值= （80-x）/(100-x)

其概率是如下对x的积分：

1/100 积分（x从20 到80） (（x-20）/x) *(（80-x）/(100-x)) dx
=1/100 积分（x从20 到80）(1- 16/x - 16/(100-x)) dx
=(60-16ln4-16ln4)/100= (15-16ln2)/25

谢谢神灵侮仕的提醒，我已经改正了最后一步积分的计算失误。

追问

我只有一个疑问：定积分左边的1/100是怎么来的？这个应该是第一炮20<x<80的概率吧？不应该是1/100，而应该是（80-20）/100=60/100，你觉得呢？

追答

不考虑是否有效，第一炮的落点，是假设均匀分布在[0,100]中，所以积分是从0到100.只是在别的部分是0：
即
1/100 积分（x从0 到20） (0 因为完全不可能有效)) dx
+ 1/100 积分（x从20 到80） (（x-20）/x) *(（80-x）/(100-x)) dx
1/100 积分（x从80 到100） (0 因为完全不可能有效)) dx

如果按你的意思写，也可以：那该是：
60/100 × 1/60×积分（x从20 到80） (（x-20）/x) *(（80-x）/(100-x)) dx
其结果一样。

Answer 2

三维几何概型
依次标记最后火车的四段为x,y,z,100-x-y-z
所以样本空间为x,y,z,100-x-y-z均大于零，其对应体积为100^3/6
事件对应为，x,y,z,100-x-y-z均大于10，其对应体积为80^3/6
所以概率为（0.8）^3=0.512

追问

请问这个体积是怎么算出来的。。。？

追答

三棱锥体积，不过第二个算错了，是60^3/6
故最后的概率是（0.6）^3=0.216

三个坐标平面（或平行于坐标平面），一个不过原点的平面，围成的体，刚好是一个三棱锥

Answer 3

Answer 4

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