Question

定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(x)是区间（0，+∞）上的增函数

求f(1),f(-1)的值；求证：f(-x)=f(x)；解不等式f(2)+f(x-½)≤0

Answer 1

定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(x)是区间(0，＋∞)的增函数，(1)求f(1),f(-1)的值；(2)求证：f(-x)=f(x)；(3)解不等式f(2)+f(x-½)≤0
解：(1)令x=y=1，带入f(xy)=f(x)+f(y)得f(1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0；令x=y=-1，带入f(xy)=f(x)+f(y)得f(1)=f(-1)+f(-1)，解得f(-1)=0；
(2)证明：令y=-1，带入f(xy)=f(x)+f(y)得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，即f(-x)=f(x)；
(3)解不等式f(2)+f(x-½)≤0，∵f(2)+f(x-½)=f(2x-1)，∴f(2x-1)≤0，又∵f(x)是区间(0，＋∞)的增函数，且f(-x)=f(x)，∴f(x)是区间(-∞，0)的减函数，

追问

f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，不太懂

追答

令y=-1，带入f(xy)=f(x)+f(y)得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，即f(-x)=f(x)

Answer 2

第三问答案好像错了吧，是0≤x≤1且x≠二分之一吧，这是非零实数集，正好同问此题，看到错误，补充一下，希望没造成提问者的困扰。

Answer 3

解：(1)令x=y=1，
带入函数式子f(xy)=f(x)+f(y)
得f(1)=f(1)+f(1)，
解得f(1)=0；
令x=y=-1，
带入函数式子f(xy)=f(x)+f(y)
得f(1)=f(-1)+f(-1)，
解得f(-1)=0.
(2)证明偶函数：
令y=-1，
带入f(xy)=f(x)+f(y)
得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，
即f(-x)=f(x).
(3)解不等式f(2)+f(x-1/2)≤0
因为f(x)是区间(0，＋∞)的增函数，且f(-x)=f(x)符合偶函数关于y轴对称
f(2)+f(x-½)=f[2*(x-1/2)]=f(2x-1)≤0=f(1) (第一问解出来f(1)=0了，用f(-1)=0也行答案都一样)
所以：|2x-1|<=| 1 | （要是-1绝对值也是1答案一样）
所以0<=x<=1 为不等式x取值范围。

若有不对，请多多指教~

Answer 4

(1)
x = 1,y = 1 代入得：f(1) = 2*f(1),故f(1) = 0；
x = -1,y = -1 代入得：f(1) = 0 = 2*f(-1),故f(-1) = 0；
(2)
y = -1 代入得：f(-x) = f(x) + f(-1)，即f(-x) = f(x)，函数是偶函数；
(3)
x = 2,y = 1/2 代入得：f(1) = 0 = f(2) + f(1/2) 即 f(2) = -f(1/2)；代入最后一问得：
f(x-1/2) ≤ f(1/2) ，又因为f(x)是区间（0，+∞）上的增函数，故，当(x-1/2) > 0时，(x-1/2) ≤ 1/2，又因为f(x)是偶函数，根据对称性，上两个不等式改写为|x-1/2| > 0 且 |x-1/2| ≤ 1/2。解得[0,1/2)U(1/2,1]。
追加：看了2楼的答案，感觉他的第三问解法更顺应题目思路。两者答案应该是一样的。