Question

定义在非零实数集上的函数f（x）满足关系式f（xy）=f（x）+f（y）且f（x）在区间（0，+∞）上是增函数（1

定义在非零实数集上的函数f（x）满足关系式f（xy）=f（x）+f（y）且f（x）在区间（0，+∞）上是增函数（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明你的结论；（2）解不等式f（x）+f（x-12）≤0．

Answer 1

（1）f）x）为偶函数，证明如下：
证明：令x=y=1，由f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=0
令x=y=-1，则f（0）=2f（-1）
∴f（-1）=0------------------（2分）
又令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），所以f（x）为偶函数------（5分）
（2）∵f（x）在区间（0，+∞）上是增函数
∴f（x）≤0=f（1）时，0＜x≤1
又由（1）得结论-1≤x＜0
∵f（x）+f（x-

1

2

）=f[x（x-

1

2

）]≤0．
∴?1≤x(x?

1

2

)≤1且x（x-

1

2

）≠0
解可得到，

1? 17

4

≤x＜0或0＜x＜

1

2

或

1

2

＜x≤

1+ 17

4

（12分）