Question

一道拉格朗日中值定理的题

函数f（x）定义域和值域都为全体实数r，且在全体实数r上可导，且存在一个属于（0,1）的实数a，对任意的定义域内的x，f（x）的导函数的绝对值小于a，设g（x）=x-f（x），证明1：使用拉格朗日中值定理证明，选择足够大的正数k，l,存在g（-k）<0，g(L)>0。2：证明在定义域内存在一个x*，使得f(x*)=x*成立。3：证明第二问中的的x*是唯一的。4：从定义域中任意选择一个x0，使得x1=f（x0），x2=f（x1），x3=f（x4），x4=f（x5）........xn=f（xn-1），证明这样的实数列xn是收敛的，并证明n趋近于无穷时xn趋近于x* （上一问中的x*）
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Answer 1

证明：1、由中值定理：x＞0时存在t∈（0，x）有g（x）=xg'(t)+g(0)=x[1-f'(x)]+g(0)＞（1-a）x+g（0），取L=-g（0）/（1-a），则g（L）＞0，同理可证存在k有g（-k）＜0。
2、显然g（x）在R连续可导，又g（-k）＜0且g（L）＞0，由连续函数介值性，存在x*，使得g（x*）=0，及x*-f（x*）=0，f（x*）=x*。
3、由中值定理，g（x）=（x-x*）g‘（t）+g（x*）=(x-x*）g‘（t），t在x与x*之间。g'(t)=1-f'(t)≠0。x≠x*时，g（x）≠0，从而f（x）≠x，故x*是唯一的
4、由中值定理易得，|f（xn）-f（x*）|=|f（xn）-x*|＜a|xn-x*|=a|f（xn-1）-f（x*）|＜a^2|xn-1-x*|···＜a^n|x1-x*|,n趋于无穷时a^n|x1-x*|存在极限为0，则|f（xn）-x*|存在极限为0，f（xn）存在极限为x*。
（第四问过程有点简化）