Question

大学极限的问题

求lim(1+1/(n-3))^2n lim(1+1/2n^2)^(3n^2+2n)，都是N趋向无穷

昨天网上一朋友给出的解答是
lim(n→∞) [1 + 1/(n - 3)]^(2n)
= lim(n→∞) [1 + 1/(n - 3)]^[(n - 3) * 2n/(n - 3)]
= e^lim(n→∞) [2n/(n - 3)]
= e^lim(n→∞) 2/(1 - 3/n)
= e^[2/(1 - 0)]
= e²

lim(n→∞) (1 + 1/2n²)^(3n² + 2n)
= lim(n→∞) (1 + 1/2n²)^[(2n²) * (3n² + 2n)/(2n²)]
= e^lim(n→∞) (3 + 2/n)/2
= e^[(3 + 0)/2]
= e^(3/2)

我有一点疑问，这个问题中为什么不能先算括号里面的极限是1，然后X次方以后还是1.指数的极限运算中有什么运算法则吗？上述的解答中可不可以认为[1 + 1/(n - 3)]^（n-3)是底数，然后剩下的是指数？这和我先把底数取极限1再算指数有什么区别

Answer 1

首先你必先明白，按照你的想法，e就不会出现了，因为如你所说lim（n→∞）（1+1/n)^n应该就为1，而不是e了~~~
其次，我们再来看看你的想法到底有什么错误。正如其他网友所说，极限的过程是连续而无限的，也就是说，底数与指数是同时在变化的，如果单一看一个变化就会得到错误的答案。

Answer 2

其实你可以这样想，把n看成是一个未知数，只不过这个未知数是趋于无穷的，你如果先算括号里的极限为1，那你就留下了未知数了，这样做肯定是不行的。指数的极限运算没有什么运算法则，你要记住那几个特殊的，应该没有什么问题。还有一个是多做题。

Answer 3

这个叫做“不定式的极限”，是指幂指函数 f(x) ^ g(x) 的极限，其中 f(x) ->1, g(x) -> ∞
上面两个例子都是凑成重要极限： lim(n->∞) ( 1+ 1/n) ^ n = e

Answer 4

其实你可以这样想，把n看成是一个未知数，只不过这个未知数是趋于无穷的，你如果先算括号里的极限为1，那你就留下了未知数了，这样做肯定是不行的。限运算没有什么运算法则，你要记住那几个特殊的，应该没有什么问题。