Question

关于三角函数应用的一道实际应用问题

一条河宽1千米，相距4千米（直线距离）的两座城市A和B分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A与B，已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费用为每千米4万元，假定两岸是平行的直线，问应如何铺设电缆可使总 的修建费用最少？

Answer 1

讲解：首先从函数建模入手．设地下光缆线路AM，水下光缆线路MB，∠OBM＝α（0≤α≤arccos1／4）， 总铺设费用为S，由题意，
S＝4a·BM＋2a·AM
＝2根号15a＋（2（2－sinα）／cosα）·a．
设 t＝（2－sinα）／cosα，t＞0．
问题转化为求tMin．
于是sinα＋tcosα＝2，
sin（α＋φ）＝2／根号（1+t^2)，（锐角φ满足tgφ＝t）．
接下来是学生熟悉的正弦函数的最值问题．解出当α＝π／6时，tMin＝根号3，总造价最省，约为11.2a万元．
说明：（1）本题还可设OM＝x千米（0≤x≤根号15），以长度为自变量进行函数建模，然后用判别式法或基本不等式求最值解之．（2）本题涉及用三角函数等知识建模解应用题，考查用初等数学方法求函数最值，以及将实际问题转化为数学问题的能力和近似计算能力．