Question

已知 函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y) 求证：f（x）为奇函数 若f（-3）=a 试用a表示f（24）

Answer 1

令y=-x, 代入等式得：f(0)=f(x)+f(-x),
即f(-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数。

令y=x, 代入等式得：f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x)
故有f(8x)=2f(4x)=2*2f(2x)=2*2*2f(x)=8f(x)
f(-3)=a, 则有f(3)=-f(-3)=-a
f(24)=f(8*3)=8f(3)=-8a

Answer 2

楼上的不太完整，没说明分f(0)=0。
证明f(x)为奇函数：
由题意可知，x∈R，自变量关于x=0对称——①
令y=0，则f(x+0)=f(x)+f(0) → f(0)=0；——②
再令y=-x，则f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=f(0)=0 → f(x)=-f(x)；——③
由①②③得：f(x)为奇函数。
（注：如果自变量x不是关于x=0对称，就谈不上是不是奇函数了）
求f(24)：
令y=x，则f(2x)=2f(x)；
所以 f(24)=2f(12)=4f(6)=8f(3)；
又因为f(x)为奇函数，所以f(3)=-f(-3)=-a，
所以f(24)=8f(3)=-8a。