Question

如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,将△ABC沿AC边所在直线向右平移x个单位长度，记平移后的对应

三角形为△DEF，连接BE。
当x为何值时，△BED是等腰三角形？

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Answer 1

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC边所在直线向右平移x个单位，记平移后的对应三角形为△DEF，连接BE．
（1）当x=4时，求四边形ABED的周长；
（2）当x为何值时，△BED是等腰三角形？
勾股定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质；平移的性质．
分析：（1）根据轴对称的性质，求得AD，DE的长，然后即可求四边形ABED的周长

（2）分两种情况：一是，当BE=ED=4时，利用轴对称的性质可得x的值，二是当BD=ED=4时，利用勾股定理可求得x的值．
解答：解：（1）将△ABC沿AC边所在直线向右平移x个单位，当x=4时，
即AD=4，又因为平移后的对应三角形为△DEF，
所以，AB=AD=DE=BE=4，
所以四边形ABED的周长为16．
（2）当BE=ED=4时，x=4
当BE=BD=x时，由∠CDE=∠BDE，BC⊥DE，
利用轴对称的性质可得5-x=x，
x=2.5，
当BD=ED=4时，利用勾股定理得(125)2+(x2)2=42，
x=325．
答：（1）当x=4时，求四边形ABED的周长为16；（2）当x为325或2.5或4时，△BED是等腰三角形．
点评：此题主要考查勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质，平移的性质等多个知识点，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，属于中档题．

Answer 2

解：（1）将△ABC沿AC边所在直线向右平移x个单位，当x=4时，
即AD=4，又因为平移后的对应三角形为△DEF，
所以，AB=AD=DE=BE=4，
所以四边形ABED的周长为16．

（2）当BE=ED=4时，x=4；
当BE=BD=x时，由∠CDE=∠BDE，BC⊥DE，
利用轴对称的性质可得DC=BD=BE，即5-x=x，
x=2.5，
当BD=ED=4时，
过点D作DH⊥BE于H，
BH=x2，DH=AB•BCAC=125，
利用勾股定理得：DH2+BH2=BD2，
即(12/5)²+(x/2)²=4²，
x=32/5．
答：（1）当x=4时，求四边形ABED的周长为16；（2）当x为32/5或2.5或4时，△BED是等腰三角形．
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