Question

已知向量a=（sinx，cosx），b=（√3cosx，cosx），且b≠0，函数f（x）=2a（b-1/2a）

1.求函数f（x）的对小正周期及单调递增区间
2.若a∥b，求tanx及cos2x/[f（x）+1]的值
3.要想得到函数y=sinx的图像，只需将函数f（x）的图像怎样变换？

Answer 1

解答：
f(x)=2a·b-a.a
=2√3sinxcosx+2cos²x-1
=√3sin2x+cos2x
=2sin(2x+π/6)
(1) T=2π/2=π
函数f（x）的单调增区间
2kπ-(1/2)π≤2x+π/6≤2kπ+(1/2)π
kπ-(1/3)π≤x≤kπ+(1/6)π

增区间为[(k-1/3)π,(k+1/6)π]，k∈Z
（2)若a平行b ,√3cos²x-sinxcosx=0，
b≠0，cosx≠0
∴ tanx=√3, 求出sin2x=√3/2, cos2x=-1/2
f(x)+1=2sin(2x+π/6)+1=2
cos2x/[f（x）+1]=(-1/2)/2=-1/4

(3)要想得到函数y=sinx的图像，只需将函数f（x）的图像
纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到y=2sin(x+π/6)
再向左平移π/6个单位,得y=2sinx
横坐标不变，纵坐标变为原来的1/2,即得y=sinx

Answer 2

f(x)=cos2x+√3sin2x
=2sin(2x+π/6)
最小正周期为 2π/2=π
最大值为2

单调增区间
2x+π/6∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
x∈[kπ-π/3,kπ+π/6]
所以
单调增区间为
[kπ-π/3,kπ+π/6] k∈Z