Question

一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式怎么理解？

Answer 1

一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式应用“常数变易法”求解。

由齐次方程dy/dx+P(x)y=0，dy/dx=-P(x)y，dy/y=-P(x)dx，ln│y│=-∫P(x)dx+ln│C│ (C是积分常数)，y=Ce^(-∫P(x)dx)，此齐次方程的通解是y=Ce^(-∫P(x)dx)。

于是，根据常数变易法，设一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的解为y=C(x)e^(-∫P(x)dx) (C(x)是关于x的函数)

代入dy/dx+P(x)y=Q(x)，化简整理得C'(x)e^(-∫P(x)dx)=Q(x)，C'(x)=Q(x)e^(∫P(x)dx)

C(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C (C是积分常数)

y=C(x)e^(-∫P(x)dx)=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx)

故一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式是y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx) (C是积分常数)。

扩展资料：

线性微分方程的一般形式是：

其中D是微分算子d/dx（也就是Dy = y'，D2y = y"，……），  是给定的函数。这个微分方程是n阶的，因为方程中含有y的n阶导数，而不含n+1阶导数。

如果ƒ = 0，那么方程便称为齐次线性微分方程，它的解称为补函数。这是一种很重要的方程，因为在解非齐次方程时，把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解，便可以得到非齐次方程的另外一个解。如果是常数，那么方程便称为常系数线性微分方程。

参考资料：百度百科——通解

Answer 2

一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式应用“常数变易法”求解。
解：∵由齐次方程dy/dx+P(x)y=0
==>dy/dx=-P(x)y
==>dy/y=-P(x)dx
==>ln│y│=-∫P(x)dx+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=Ce^(-∫P(x)dx)
∴此齐次方程的通解是y=Ce^(-∫P(x)dx)
于是，根据常数变易法，设一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的解为
y=C(x)e^(-∫P(x)dx) (C(x)是关于x的函数)
代入dy/dx+P(x)y=Q(x)，化简整理得
C'(x)e^(-∫P(x)dx)=Q(x)
==>C'(x)=Q(x)e^(∫P(x)dx)
==>C(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C (C是积分常数)
==>y=C(x)e^(-∫P(x)dx)=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx)
故一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式是
y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx) (C是积分常数)。

Answer 3