Question

如图所示，△ABC是等边三角形，P是三角形外一点，且∠ABP＋∠ACP＝180°，求证：PB＋PC＝PA。

如图所示，△ABC是等边三角形，P是三角形外一点，且∠ABP＋∠ACP＝180°，求证：PB＋PC＝PA。 (作辅助线，延长PC至E，使CE＝BP的解法)

Answer 1

我尝试不用添加辅助线，而应用三角函数公式来证明、求解，如下：
证明：因为△ABC为等边三角形，所以∠BAC=60°，且AB=AC=BC...(1)。
在四边形ABPC中，∠ABP＋∠ACP＝180°且∠BAC=60°，所以∠BPC=360°-(∠ABP＋∠ACP)-∠BAC=120°；cos∠BAC=(BP²+PC²-BC²)/(2BP×PC)=-1/2,化简得：(BP²+PC²-BC²)/(BP×PC)=-1...(2)
在△ABP中，cos∠ABP=(AB²+BP²-AP²)/(2AB×BP)...(3)
在△ACP中，cos∠ACP=cos(180°-∠ABP)=-cos∠ABP=(AC²+PC²-AP²)/(2AC×PC)...(4)
由（1）、（3）+（4）联立推出：(AB²-AP²)/(BP×PC)=-1...(5）,即AB²-AP²+BP×PC=0...(6)
由（1）、（2）、（5）联合推出：2AB²-AP²=BP²+PC²...(7)
(7)式左、右两边加上2BP×PC，得到：
2AB²-AP²+2BP×PC=(BP+PC)²=2(AB²-AP²+BP×PC)+AP²=AP²(注：最后一步推导带入(6)式子)...(8)
∴BP+PC=AP或者BP+PC=-AP<0(舍去，因为BP+PC>0)
证明完毕。

Answer 2

证明：
延长PC至E，使CE=BP，连接AE，延长PB至D，使PC=DB，连接DA，则PD=PE
∵∠ABP﹢∠ACP=180
∴∠ABD=∠ACP
∵AB=AC，BD=PC
∴△ADB≌△ACP
∴AP=AD，∠ADB=∠APC，∵PD=PE
∴△ADP≌△APE
∴AP=AE，△APE是等腰三角形
∵∠DAB=∠PAC，∠BAP﹢∠PAC=60

∴∠BAP﹢∠DAB=60=∠DAP=∠PAE
∴△APE是等边三角形，及AP=PE=BP﹢PC

Answer 3

证明：∵∠ABP+∠ACP=180° ∴ A、 B、P、C四点共圆 在AP上取AQ=PC 在△ABQ和△CBP中 ∵ AB=BC，AQ= PC ∠BAP=∠BCP（同弧上的圆周角 相等） ∴△ABQ≌△CBP 故BQ=BP 又∠APB=∠ACB=60° ∴△BQP是等边 三角形 ∴ PB=PQ 即 PA=PQ+QA=PB+ PC