Question

一道高中数学题，跪求解答！！！

已知f（x）=x2-2x+3,x∈【a-1,a】，求值域。

Answer 1

f（x）=x^2-2x+3=(x-1)^2+2
(1)当a<=1时，值域为[f(a),f(a-1)]
(2)当a>=2时，值域为[f(a-1),f(a)]
(3)1<a<2时，f(0)最小
要求最大值，则可能是f(a-1)或者f(a)
区间长度为1，函数对称轴为1，所以f(a-1)=f(a)时，a=1.5
1<a<=1.5,值域为[f(0),f(a-1)]
1.5<a<2,值域为[f(0),f(a)]
综合得：
(1)当a<=1时，值域为[f(a),f(a-1)]
（2）1<a<=1.5,值域为[f(0),f(a-1)]
（3）1.5<a<2,值域为[f(0),f(a)]
(4)当a>=2时，值域为[f(a-1),f(a)]

Answer 2

解：f（x）=x^2-2x+3=(x-1)^2+2
其拐点坐标【1,2】
x=1 ，为对称轴，有极小值。
(1)当a<1时，x∈【a-1,a】是单调减少，值域为[f(a),f(a-1)]
(2)当a=1时，x∈【a-1,a】是单调减少，值域为[f(-1),f(0)]
(3)当2>a>1时，x∈【a-1,a】是单调增加，值域为[f(a-1),f(a)]
(4)当a=2时，x∈【a-1,a】是单调减少，值域为[f(1),f(2)]
(3)当a>2时，x∈【a-1,a】是单调增加，值域为[f(a-1),f(a)]

Answer 3

已知f（x）=x2-2x+3,x∈【a-1,a】，求值域。
解析：∵f（x）=x2-2x+3,
F(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2
抛物线开口向上，对称轴x=1，最小值为f(1)=2
∵区间x∈【a-1,a】
F(a-1)=(a-2)^2+2
F(a)=(a-1)^2+2
(a-1)^2+2-(a-2)^2+2=a^2-2a+3-a^2+4a-6=2a-3>=0==>a>=3/2
当a>=3/2时，F(a)>= F(a-1)，当a<3/2时，F(a)< F(a-1)

当a<=1时，区间【a-1,a】上值域={f(x)|f(a)<=f(x)<=f(a-1)}
当1<a<3/2时，区间【a-1,a】上值域={f(x)|2<=f(x)<=f(a-1)}
当3/2<=a<3/2时，区间【a-1,a】上值域={f(x)|2<=f(x)<=f(a)}
当a-1>=1==>a>=2时，区间【a-1,a】上值域={f(x)|f(a-1)<=f(x)<=f(a)}

Answer 4

f（x）=x2-2x+3=(x-1)²+2≥2
x∈【a-1,a】
若((a-1)+a)/2＞1且a-1≤1，即2≥a＞3/2时：f（x）max=f（a）=a²-2a+3∈（2.25,3]
f（x）min=f（1）=2
若((a-1)+a)/2＞1且a-1＞1，即a＞2时：f（x）max=f（a）=a²-2a+3∈（3,﹢∞)
f（x）min=f（a-1）=a²-4a+6∈（2,﹢∞)
若((a-1)+a)/2＜1且a≥1，即3/2＞a≥1时：f（x）max=f（a-1）=a²-4a+6∈（2.25,3]
f（x）min=f（1）=2
若((a-1)+a)/2＜1且a＜1，即a＜1时：f（x）max=f（a-1）=a²-4a+6∈（﹣∞,3)
f（x）min=f（a）=a²-2a+3∈（﹣∞,2)
若((a-1)+a)/2＝1,即a＝3/2时：f（x）max=f（a-1）=f（a）=a²-2a+3=2.25

Answer 5

令x^2-2x+3=0 得x=-1,x=3
画图，的一个以1为对称线，-1,3为零点，开口向上的抛物线
当a<1时，递减，值域属于（f(a),f(a-1)）
当a-1>1即a>2时，递增。值域属于（f(a-1),f(a)）
当1<=a<=2时，值域属于[f(1),f(0)]或[f(1),f(2)]