Question

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,且60°＜a＜120°,P为△ABC内部一点,且PC=AC,∠PCA=120°-a,求∠PBC的大小

Answer 1

首先设AB=AC=PC=a，AP=b，所求角为x，
根据三角形各角关系有∠ABP=90-x-a/2，∠APB=120+x
延长AP交BC于D，则有∠ADC=60°,所以0°＜x＜60°
因为∠PCA=120-a，根据余弦定理得：
b^2=2a^2-2a^2cos(120-a)=2a^2(1-cos(120-a))=2a^2(1+sin(30-a))
=2a^2((cos(15-a/2))^2+(sin(15-a/2))^2+2sin(15-a/2)cos(15-a/2))……（1写成平方相加，sin化成2sincos）
=2a^2(cos(15-a/2)+sin(15-a/2))^2=4a^2(sin(60-a/2))^2……（sinx+cosx=√2sin(x+45)）
所以b=2asin(60-a/2)……（这个如果作图会一目了然）
根据正弦定理得：
sin∠ABP/sin∠ABP=b/a
sin(90-x-a/2)/sin(120+x)=b/a=2sin(60-a/2)
根据配方式设sin(90-x-a/2)=sin(60-a/2),sin(120+x)=sin(60-x)=1/2
所以x=30°

Answer 2