Question

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,且60°＜a＜120°,P为△ABC内部一点,且PC=AC,∠PCA=120°-a,求∠PBC的大小

详细的看 http://zhidao.baidu.com/question/226857780.html
初二水平

Answer 1

解：在△ABC内取点D，使得PD//BC且BP=CD，连结AD

则易知四边形BCDP是等腰梯形

有∠PBC=∠DCB

因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB

则∠ABP=∠ACD

所以△ABP≌△ACD (SAS)

则AP=AD且∠BAP=∠CAD

在△ACP中，PC=AC，∠PCA=120°-a

则∠APC=∠PAC=(180°-∠PCA)/2=[180°-(120°-a)]/2=30°+a/2

又∠BAC=a，则∠BAP=∠BAC-∠PAC=a-(30°+a/2)=a-30°

所以∠PAD=∠BAC-∠BAP-∠CAD=a-2(a-30°)=60°

因为AP=AD，所以△PAD是等边三角形

则PD=AD

所以△PCD≌△ACD (SSS)

则∠PCD=∠ACD=∠PCA/2=60°-a/2

又∠BCA=∠CBA=(180°-∠BAC)/2=90°-a/2

则∠BCD=∠BCA-∠ACD=90°-a/2 -(60°-a/2)=30°

所以∠PBC=∠BCD=30°

Answer 2

解：在△ABC内取点D，使得PD//BC且BP=CD，连结AD
则易知四边形BCDP是等腰梯形
有∠PBC=∠DCB
因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB
则∠ABP=∠ACD
所以△ABP≌△ACD (SAS)
则AP=AD且∠BAP=∠CAD
在△ACP中，PC=AC，∠PCA=120°-a
则∠APC=∠PAC=(180°-∠PCA)/2=[180°-(120°-a)]/2=30°+a/2
又∠BAC=a，则∠BAP=∠BAC-∠PAC=a-(30°+a/2)=a-30°
所以∠PAD=∠BAC-∠BAP-∠CAD=a-2(a-30°)=60°
因为AP=AD，所以△PAD是等边三角形
则PD=AD
所以△PCD≌△ACD (SSS)
则∠PCD=∠ACD=∠PCA/2=60°-a/2
又∠BCA=∠CBA=(180°-∠BAC)/2=90°-a/2
则∠BCD=∠BCA-∠ACD=90°-a/2 -(60°-a/2)=30°
所以∠PBC=∠BCD=30°

Answer 3

延长AP交BC于点Q，
由(1) (2) 可知∠CAP=30°+α/2，∠ABC=90°-α/2
∴∠BAP+∠ABC=60°
∴∠PQB=120°∴∠PQC=60°
在QC上取一点M，使QM=PQ，连接PM
则△PQM是等边三角形，∴∠PMC=120°，
在△ABQ和△CPM中
∠BAP=∠PCB，∠PQB=∠PMC，AB=AC=CP
∴△ABQ≌△CPM
∴BQ=PM=PQ
而∠PQB=120°，∴∠PBC=30°

Answer 4

不会