Question

BC是半圆O的直径点G是半圆上任意一点点A为弧BG的中点AD⊥BC于D且交BG于EAC与BG交于点F求证：BE=AE=EF

Answer 1

证明：连AB

因为A是BG弧的中点

所以AB弧=AG弧

所以∠ABG=∠ACB

因为AD⊥BC

所以∠ACB+∠CAD=90,

因为BC是直径

所以∠BAC=90,

所以∠BAD+∠CAD=90,

所以∠BAD=∠ACB

因为∠ACB=∠ABG

所以∠ABG=∠BAD

所以BE=AE

 

在△BCF中，∠AFB=∠ACB+∠CBF

因为∠ACB=∠ABE

所以∠AFB=∠CBF+∠ABF=∠ABC,

因为AD是直角三角形ABC斜边上的高，

所以∠ABC=∠CAD

所以∠∠CAD=∠AFB

所以AE=EF

 

综合，得，AE=BE=EF

Answer 2

证明：连AB
因为A是BG弧的中点
所以AB弧=AG弧
所以∠ABG=∠ACB
因为AD⊥BC
所以∠ACB+∠CAD=90,
因为BC是直径
所以∠BAC=90,
所以∠BAD+∠CAD=90,
所以∠BAD=∠ACB
因为∠ACB=∠ABG
所以∠ABG=∠BAD
所以BE=AE
在△BCF中，∠AFB=∠ACB+∠CBF
因为∠ACB=∠ABE
所以∠AFB=∠CBF+∠ABF=∠ABC,
因为AD是直角三角形ABC斜边上的高，
所以∠ABC=∠CAD
所以∠∠CAD=∠AFB
所以AE=EF
得，AE=BE=EF