Question

判断并证明函数f(x)=-x2+2X在(0,+∞)上的单调性

谢谢

Answer 1

对任意的x1<x2<1
y1-y2=-(x1²-x2²)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(-x1-x2+2)
=(x1-x2)[(1-x1)+(1-x2)]
因为x1<x2<1
所以x1-x2<0
(1-x1)>0
(1-x2)>0
y1-y2<0
y1<y2
所以函数在（-∞，1）上单调增；
对任意的1<x1<x2
y1-y2=
=(x1-x2)[(1-x1)+(1-x2)]
因为1<x1<x2<
所以x1-x2<0
(1-x1)<0
(1-x2)<0
y1-y2>0
y1>y2
所以函数在（1，+∞）上单调减；

Answer 2

f(x)=-x2+2X
=-(x²-2x)
=-(x-1)²+1
对称轴x=1；开口向下
所以：
x∈(0,1)时，单调递增
x∈[1,+∞)时，单调递减

Answer 3

解：f(x)=-(x-1)^2+1，在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数。
证明：设0<x1<x2<1，则f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1+x2-2)，
因为0<x1<x2<1，所以x2-x1>0，x1+x2-2<0，
所以f(x1)<f(x2)，f(x)在(0,1)是增函数。同理可证f(x)在(1,+∞)上是减函数。

Answer 4

f(x)= - x^2 +2X = - （ x^2 - 2x +1 - 1 ）= - （x-1)^2 +1
所以对称轴为 x = 1 开口向下
因此 (0,1] 递增 (1,+∞) 递减

Answer 5

f(x)=-(x-1)^2+1,在x=1处分界，
x在0到1时单调递增，
x在1到正无穷时单调递减，
画个图就出来了

Answer 6

对f（x）求导得到f（x）'=-2x+2
因此，当0<x<1 为减函数
1<x 为增函数

Answer 7

=-x(x-2)当x在(0,2)上，单增，x在（2，正无穷），单减