Question

为什么分属于不同特征值的特征向量就线性无关呢？

Answer 1

设 Axi = ai xi, i=1,2, 其实 A为线性变换， xi 为非零特征向量， ai 为特征值。 且 a1 不等于 a1.
反证法：
如果存在不为零的两数 b1,b2，使得 b1x1+b2x2=0 --------------- (1)
于是 A(b1x1+b2x2)=0 ==> a1b1x1+a2b2x2=0 ----------------------(2)
(2) - (1)×a1 ===> (a2b2-a1b2)x2 = 0, ==》 a1=a2. 矛盾！

所以 x1, x2 线性无关。