Question

证明：若函数fx在[a,b]上连续,且对任何x∈[a,b],存在相应的y∈[a,b],使得|f(y)|<=0.5|f(x)|,

则至少有一点ζ∈[a,b]，使得f（ζ）=0

Answer 1

这里不妨用反证法，首先你可以知道连续函数是有界的，假设不存在ζ∈[a,b]，使得f（ζ）=0，那么要么有f（x）>0对任意x∈[a,b]恒成立，要么f（x）<0对任意x∈[a,b]恒成立（如果f有正有负，可用零点定理得到必然f（x）必然在区间上有根，与假设矛盾）
现在不妨设f（x）>0对任意x∈[a,b]恒成立（x<0的情形类似可证）
我们知道f肯定有最小值，记为min，则min>0根据结论，必存在min1∈[a,b],，使得f（min）<=0.5f(min1),即f（min1）>=2f(min)对于min1，可以继续找到min2使得f（min2）>=2f(min1)，这样连续找下去，记第k个自变量值为mink，则f（mink）>=f（min）*2^k,
f（min）>0,那么当k趋于无穷时显然f（mink）也趋于无穷，这就推出函数无界，和函数f在闭区间[a,b]连续矛盾，因此，假设不成立，原命题为真。
敲了这么多字，希望对你有帮助，数学辅导团为您全力解答各种数学问题。

追问

这个方法确实看懂了,不过不知道能不能用连续函数的性质证一下啊

追答

这个我分析了一下，同前面一种解法的分析，不考虑f在区间中变号的情况（因为这个可以用零点定理轻松看出f有根，问题得证，我们可以得出f要么在区间上恒为非负，要么恒非正，不妨假设它恒为非负。那么，任取x∈[a,b]，这样有题设，得到：
存在x1∈[a,b]，使得f（x1）=0,因此而n趋于无穷时，limf（xn）=0，因此得到m<=limf(xn)=0，这样两边夹逼，得到m只能为0。因此，对于区间中不变号（或者说保号）的情况也能证f存在闭区间中的零点。
这该可以了吧

Answer 2

考虑F(x)＝|f(x)|>=0。由连续函数的最值定理知道
存在c位于[a,b]，使得F(c)＝min{F(x):a<=x<=b}。
由条件，存在y位于[a,b]，使得
0<=F(c)<=F(y)＝|f(y)|<=0.5|f(c)|＝0.5F(c)，于是F(c)＝0，即f(c)＝0。证毕。

追问

这样会得到 ：F(c)<=|f(y)|<=0.5F(c) 不成立吧 ~麻烦写详细点

追答

怎么不成立？
F(c)是最小值，F(c)<=F(y)＝|f(y)|。
由条件，|f(y)|<=0.5|f(c)|，合起来就是
F(c)<=|f(y)|<k=0.5|f(c)|了。

追问

那又怎么得到F(c)＝0的

追答

所有不等式只看第一个和最后一个，有
0=0，因此
F(c)＝0

Answer 3

任取x_0，得x_1，使得|f(x_1)|<=0.5|f(x_0)|;
对于x_1，有x_2，使得|f(x_2)|<=0.5|f(x_1)|;
................
如此下去得点列{x_n}使得：|f(x_{n+1})|<=0.5|f(x_n)|;
不妨设点列{x_n}收敛于y。则由f(x)连续即知：f(y)=0。得证。

追问

_ 这个符号是啥意思?

追答

_表示后面的数字是下标。