Question

证明若函数f(x)在[a,b]上连续,且f2(x)在[a,b]上的积分为零,则在[a,b]上f(

)恒等于零

Answer 1

有一个结论是，
【如果函数h(t)》0，并且∫〔c到d〕h(t)dt=0，则h(t)在[c，d]上恒为0】
用于本题可得证。

直接证明本题如下：
反证法，
如若不然，
即有c属于[a，b]使得f(c)≠0。
则（f(c)）^2>0。
由极限的保号性，
则在c的附近[c-d，c+d]上都有（f(x)）^2>0。
其中数d>0。
把积分∫〔a到b]f^2dx★拆成3个积分的和，得到
★=∫〔a到c-d〕…+∫〔c-d到c+d〕…+∫〔c+d到b〕…。
其中，第1、3两个积分》0，是因为f^2》0。
其中，第二个积分用积分中值定理得到=2d（f(§)）^2>0。
于是得到★>0。矛盾。