Question

已知函数f(x)=ax^2+1(a＞0)

(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值。
(2)当a=3，b=-9时，函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围

Answer 1

（1) a=1 , f(x)=x^3-3/2x^2+1(x∈r), f(x)'=3x^2-3x
x=2 ,f(x)'=12-6=6 f（2）=3
切线方程为y=6x-9
（2）f(x)'=3ax^2-3x (a>0)
f(x)'=0 得 x=0 或 x=1/a
x在[-1/2,0] [1/a,∞）单增 [0,1/a]单减
a≥2时 ，1/a≤1/2 f(x)最小值为f(1/a)或f(-1/2)
f(1/a)=1/a^2-3/2*1/a^2+1=1-1/2*1/a^2＞0 解得a＞2^½ ∴a≥2
f(-1/2)= -a/8-3/8+1=-a/8+5/8＞0 解得a＜5
∴2≤a＜5
0＜a＜2时 ，1/a＞1/2 f(x)最小值为f(1/2)或f(-1/2)
f(1/2)=a/8-3/8+1=a/8+5/8＞0 恒成立
f(-1/2)= -a/8-3/8+1=-a/8+5/8＞0 解得a＜5 ∴0＜a＜2
综上可得 a的取值范围 0＜a＜5