Question

用定义法和导数法证明:函数f(x)=x+1/x在x属于［1,+无穷大)上是增函数

Answer 1

定义法：设x1,x2为(1，正无穷）的任意俩个不等实数，且x1>x2.
则，f(x1)-f（x2）=（x1-x2)+(1/x1-1/x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1*x2)=(x1-x2)*(1-1/(x1*x2))
其中x1>1，x2>1,且x1>x2,所以1-1/(x1*x2)>0,x1-x2>0,及f(x1)-f（x2）>0,又X1>x2,所以函数f(x)=x+1/x在x属于［1,+无穷大)上是增函数。
倒数法：对于函数求导得，其导函数为f(x)'=1-1/x^2显然在［1,+无穷大)上导数大于0，所以函数f(x)=x+1/x在x属于［1,+无穷大)上是增函数。

Answer 2

1、定义法
设x1>x2>=1
f(x1)-f(x2)
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2
因为x1-x2>0 x1x2>1
所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)在[1,+∞)上是增函数
2、导数法
f'(x)=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2
因为x>1，x^2>1，f'(x)>0
所以f(x)在(1,+∞)上是增函数

Answer 3

解：定义法
任取x1>x2>=1 x1x2>1 1/x1x2<1
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1 -x2-1/x2
=x1-x2+1/x1-1/x2
=（x1-x2）（1-1/x1x2）>0
所以f(x1) >f(x2)
函数f(x)在x属于［1,+无穷大)上是增函数。

导数法
对所有x>=1 有x^2>1 1/x^2<1
所以f ‘（x）=1-1/x^2>0
所以
函数f(x)在x属于［1,+无穷大)上是增函数。

Answer 4

1、定义法
设x1和x2是定义域[1,+∞）上两点
则1≤x1<x2
f(x1)-f(x2)
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2
∵x1-x2<0 x1x2-1>0 x1x2>0
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x)在[1,+∞)上是增函数
2、导数法
f'(x)=1-1/x²
=(x²-1)/x²
∵x>1，
∴x²>1
∴f'(x)>0
∴f(x)在(1,+∞)上是增函数