Question

已知三角形ABC,分别以AB、AC为边在三角形ABC外侧作三角形ABD和三角形ACE,使AB=AD,AC=AE,角BAD=角EAC,

BE,CD交于点P，当角BAD=90°时，若角BAC=45°，角BAP=30°，BD=2，求CD的长

Answer 1

∵∠BAD=∠EAC=90°
∴∠BAD+∠BAC=∠BAC+∠EAC
即∠DAC=∠BAE
∵AD=AB=√2/2×2=√2(利用勾股定理求）
AC=AE
∴△ACD≌△ABE
∴∠ADC=∠ABC
∠AEB=∠ACD
∴A、D、B、P四点共圆。A、P、C、E四点共圆
∴∠BAP=∠BDP=30°
∠BPD=∠BAD=90°
∴在Rt△BDP中
BP=1/2BD=1
∴PD=√(BD²-PB²)=√(2²-1²)=√3
∵∠ABP=90°-∠BDP-∠DBA=90°-30°-45°=15°
∴在△ABP中，正弦定理：AP/sin15°=BP/sin30°
AP=BP×sin15°/sin30°=2sin15°
∵∠PAC=∠BAC-∠BAP=45°-30°=15°
∴∠BEC=∠PAC=15°(上面的四点共圆）
∴∠AEB=∠ACP=∠AEC-∠BEC=45°-15°=30°
∴在△ACP中
AP/sin30°=PC/sin15°
PC=AP×sin15°/sin30°=4sin²15=4×(√6-√2)²/16=2-√3
∴CD=PD+PC=√3+2-√3=2