Question

已知函数f（x）=(1/a)-(1/x)a，x大于0 若f（x）在［m，n］上的值域是［m，n］，求实数a的取值范围

$(acontent)
f(x)=（1／a）－（1／x）

Answer 1

f（x)的单调性易知，分m>0,n<0,m<0<n,3种情况讨论分别求出在［m，n］上的值域（关于m,n的表达式），在结合所给条件求出实数a的取值范围

Answer 2

函数f（x）=(1/a)-(1/x)a是f（x）=1/a-a/x吗
当x>0时，f(x)=1/a-1/x单调递增
因为 f（x）在［m，n］上的值域是［m，n］，
f(m)=m，f(n)=n 即m=1/a-1/m，n=a-1/n且0<m<n，
亦即方程 x=1/a-1/x有两个不等正实根m，n 即 ax^2-x+a=0有两个正的不等实根
判别式=1-4a^2>0
a^2＜1/4 即 -1/2＜a＜1/2 a≠0
因为0<m<n， 所以 0＜a＜1/2