Question

如图1所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足（a+b)²+（a-4）²=0.

1.如图1，若C的坐标为（-1,0），且AH⊥BC于点H,AH交OB于点P,试求点P的坐标。
2.如图2，连接OH，求证∠OHP=45°
3。如图3，若点D为AB的中点，点M位y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM-S△ADN的值是否发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值。

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

由（a+b)²+（a-4）²=0.得：a=4，b=-4，
⑴∵∠CAH+∠ACB=∠CBO+∠ACB=90°，∴∠CAH=∠CBO，
∴RTΔAOP∽RTΔBOC，∴AO/OP=BO/OC，
∴OP=OA*OC/BO=1。∴P(0，-1)。
⑵过O作OD⊥AH于D，∵SΔOPA=1/2OA*OP=1/2AP=OD，∴OD=3/√10，
∴AD=√(OA^2-OD^2)=9/√10，
又AH/OA=AC/AP，∴AH=3×4/√10=12/√10，DH=AH-AD=3/√10，
∴OD=DH，∴∠OHP=45°。
⑶SΔBDM-SΔADN=4保持不变。
理由：
连接OD，∵D为等腰三角形OAB斜边中点，OD⊥AB，又BD⊥DN，
∴∠ODM+∠AOM=∠ADN+∠AOM=90°，∴∠ODM=∠ADN，
∵OD=AD(直角三角形斜边上中线等于斜边的一半)，∠MOD=∠NOD=135°，
∴ΔODM≌ΔADN，
∴SΔBDM-SΔADN=SΔOND=1/2SΔOB=4，始终保持不变。

追问

我现在初2刚把对称轴学完请写的让我看得懂

追答

正面避免用相似的证法。

⑴∵∠CAH+∠ACB=∠CBO+∠ACB=90°，∴∠CAH=∠CBO，OA=OB=4，
∴RTΔAOP≌RTΔBOC(ASA)，∴OP=OA=1，∴P(0，-1)。
⑵BC=√(OC^2+OB^2)=√17。
SΔABC=1/2*AC*OB=1/2*BC*AH，∴AH=20/√17，(上面数据有误)
AP=√(OA^2+OP^2)=√17，
过O作OD⊥AH于D，∵SΔOPA=1/2OA*OP=1/2AP*OD，∴OD=4/√17，
∴AD=√(OA^2-OD^2)=16/√17，
∴DH=AH-AD=4/√17，
∴OD=DH，∴ΔODH是等腰直角三角形，∴∠OHP=45°。
⑶都是初二内容。

追问

这提必须要运用√这个符号吗？我好像还没学···

追答

根号在这里打不出，所以用“√”表示二次方根。

Answer 2

解，
1，（a+b)²+（a-4）²=0,
∴a+b=0，且a-4=0
∴a=4,b=-4
即是，A(4,0)B(0，-4)
BC的直线方程为：4x+y+4=0【1】
又，AM⊥BC
∴k(AM)*k(BC)=-1
即是，k(AM)=1/4
∴AM的直线方程为：y=1/4*(x-4)【2】
当x=0时，y=-1
因此，P(0，-1)

2，联立【1】和【2】
解出x=-12/17，y=-20/17
即是M(-12/17，-20/17)
设OM的斜率为k1，AM的斜率为k2
k1=5/3，k2=1/4
根据夹角公式，
tan(∠OHP)=|(k1-k2)/(1+k1*k2)|=1
∴∠OHP=45º

3，设M(0，t)
D(2,-2),
k(MD)=(-2-t)/2
∵DN⊥DM
∴k(ND)=-1/k(MD)=2/(t+2)
ND的直线方程为：y=2/(t+2)*(x-2)-2
当y=0时，x=t+4
∴ON=t+4,
OA=4,OM=t+2
S(△BDM)=1/2*2*OM=t+2
S(△ADN)=1/2*2*(ON-OA)=t
∴S(△BDM)-S(△ADN)
=t+2-t
=2
因此，S(△BDM)-S(△ADN)为定值2.

Answer 3

(2)作OM⊥CB，ON⊥AH
又∵∠CHA=90°
∴四边形MONH为正方形
∴ON=NH
又∵∠ONH=90°
∴∠OHP=（180°-90°）1/2=45°