Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an=(根号下Sn+根号下Sn-1)/2

（1）证明：数列{根号下Sn}是一个等差数列：（2）求{an}通项公式

Answer 1

（1）证明：数列{根号下Sn}是一个等差数列：（2）求{an}通项公式
证明：（1）当n=1时，S1=a1=1，√S1=1
当n≥2时,an=(√Sn+√Sn-1)/2=Sn-Sn-1
(√Sn+√Sn-1)/2=（√Sn-√Sn-1）(√Sn+√Sn-1)
∴√Sn-√Sn-1=1/2
∴数列{√Sn}是以首项1，公差1/2的一个等差数列
（2）由（1）得：√Sn=√S1+（n-1）d=1+（n-1）×1/2=（n+1）/2
Sn=【（n+1）/2】²=（n+1）²/4
Sn-1=（n-1+1）²/4=n²/4
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n+1）²/4-n²/4=（2n+1）/4
当n=1时，a1=（2×1+1）/4=3/4≠1
∴当n=1时，a1=1；当n≥2时，an=（2n+1）/4