Question

二次函数fx二次项系数为a,不等式fx>-2x的解集为(1,3)。若当x≤-1时,fx+5a<0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

解:设f(x)=ax^2+bx+c
f(x)>-2x
即ax^2+(b+2)x+c>0的解集为(1,3)，所以有a<0,且x=1,x=3是ax^2+(b+2)x+c=0的两根，
a+b+2+c=0且9a+3b+6+c=0
可得b=-4a-2
c=3a
将b,c代入可得
f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a, 且a<0
又因为若当x≤-1时,f(x)+5a<0恒成立
ax^2-(4a+2)x+8a<0,当x<=-1时恒成立,有a<0，二次函数图像开口向下，
即可分为两种情况，1. f(x)+5a的最大值都小于0, 即判别式小于0
2. f(x)+5a的最大值大于等于0，但对称轴(x=2a+1)在x=-1的右侧，且f(-1)<0
1.f(x)+5a的最大值都小于0, 即判别式小于0
(4a+2)^2-12a^2<0,且a<0
-2-3^(1/2)<a<-2+3^(1/2)
2.f(x)+5a的最大值大于等于0，但对称轴在x=-1的右侧，且f(-1)<0
判别式大于0得a=>=-2+3^(1/2)或者a<=-2-3^(1/2)
称轴在x=-1的右侧，且f(-1)<0得-1<a<-3/13
即-2+3^(1/2)<=a<-3/13
综上所述a的取值范围为-2-3^(1/2)<a<-3/13

Answer 2

解:设f(x)=ax^2+bx+c
f(x)>-2x
即ax^2+(b+2)x+c>0的解集为(1,3)，所以有a<0,且x=1,x=3是ax^2+(b+2)x+c=0的两根，
a+b+2+c=0且9a+3b+6+c=0
可得b=-4a-2
c=3a
将b,c代入可得
f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a, 且a<0
又因为若当x≤-1时,f(x)+5a<0恒成立
ax^2-(4a+2)x+8a<0,当x<=-1时恒成立,有a<0，二次函数图像开口向下，
即可分为两种情况，1. f(x)+5a的最大值都小于0, 即判别式小于0
2. f(x)+5a的最大值大于等于0，但对称轴(x=2a+1)在x=-1的右侧，且f(-1)<0
1.f(x)+5a的最大值都小于0, 即判别式小于0
(4a+2)^2-12a^2<0,且a<0
-2-3^(1/2)<a<-2+3^(1/2)
2.f(x)+5a的最大值大于等于0，但对称轴在x=-1的右侧，且f(-1)<0
判别式大于0得a=>=-2+3^(1/2)或者a<=-2-3^(1/2)
称轴在x=-1的右侧，且f(-1)<0得-1<a<-3/13
即-2+3^(1/2)<=a<-3/13
综上所述a的取值范围为-2-3^(1/2)<a<-3/13
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