Question

已知f(x)=x²+2x+3,当x∈[t,t+1],f(x)≥t恒成立，求t的取值范围

过程

Answer 1

解：f(x)=x²+2x+3
=(x+1)²+2
所以f(x)的对称轴为直线x=-1
1°当t+1≤-1,即t≤-2时
f(x)在[t,t+1]上单调递减
因为f(x)≥t
所以f(t+1)=(t+2)²+2
=t²+4t+6≥t
所以(t+3/2)²+15/4≥0恒成立
所以当t≤-2时成立
2°当t＜-1且t+1＞-1，即-2＜t＜-1时
f（x）的最小值为f(-1)=2
因为f(x)≥t
所以2≥t
所以-2＜t＜-1
所以当-2＜t＜-1成立
3°当t≥-1时
f（x）的最小值为f（t）=t²+2t+3
因为f(x)≥t
所以t²+2t+3≥t
（t+1/2）²+11/4≥0恒成立
所以当t≥-1时成立
综上所述
t的取值范围为R