Question

定义在(－∞,0)∪（0,＋∞)上的偶函数f(x).当x>0时,f(x)=x+2/x-1

1. 求f(x)的解析式 2.写出其单调区间 3.求在[1,3]上的值域

Answer 1

　　解:1.当x<0时，-x>0，由已知f(x)=f(-x)=-x-2/x-1
　　 2. 单调区间:只考虑x>0的情形，x<0的情况由偶函数对称性可得，由对勾函数性质（0，根2）单减，（根2，+∞)单增;
　　 3.由单调性知，f(x)在[1,3]上先减后增，故f(x)在x=√2处取得最小值y=2√2-1，又f(1)=2<f(3)=8/3，所以f(x)在x=3处取得最大值y=8/3，所以f(x)在[1,3]上的值域为[2√2,8/3]。

另外，对勾函数在整个定义域上没有最值，只有极值，至于极值可根据单调性并结合图像很容易得到，当然，比方说，函数y=x+2/x+1在（0，+∞)内的最值、极值也用同样方法可以得到：y=x+2/x+1在（0，根号2]上递减，在[根号2，+∞)上递增，所以y=x+2/x+1在（0，+∞)内有最小值、极小值f(x根号2)=2√2+1。
希望能帮到你，不明白可以追问，学习进步，两节快乐！

Answer 2

(1)x＜0时，-x＞0
f(-x)=-x+2/(-x)-1
=-x-2/x-1
因为函数为偶函数，所以当x＜0时
f(x)=f(-x)=-x-2/x-1
(2)x＞0时，x+2/x在x=2/x时，即x=√2时有最小值
因此（0，√2）为函数递减区间，[√2，+∞）为函数递增区间
因为函数为偶函数，所以x＜0时，当x=-√2时有最小值
因此在（-∞，-√2]为函数递减区间，（-√2，0）为函数递增区间
(3)在[1，3]包含x=√2，因此函数最小值为x=√2时的函数值
代入x=√2，最小值为2√2-1
函数在[1，√2）上递减，因此这部分函数最大值为f(1)=2
函数在[√2，3]上递增，因此这部分函数最大值为f(3)=8/3
所以函数值域为[2√2-1，8/3]