为什么分属于不同特征值的特征向量就线性无关呢？
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设x1,x2...xm是A的属于λ1的特征向量，y1,y2...yn是A的属于λ2的特征向量
则AXi=λ1Xi，x1,x2...xm线性无关
Ayj=λ2yj，y1,y2...yn线性无关
且λ1≠λ2
设∑kixi+∑kjyj=0
则A(∑kixi+∑kjyj)=0
λ1∑kixi+λ2∑kjyj=0①
λ1(∑kixi+∑kjyj)=0
λ1∑kixi+λ1∑kjyj=0②
①-②
(λ1-λ2)∑kjyj=0
∵λ1≠λ2
∴∑kjyj=0
∵y1,y2,……ym线性无关
∴kj=0
∴∑kixi=0
所以ki=0
所以x1,x2...xm，y1,y2...yn线性无关
对于多个特征值则可用数学归纳法证明
则AXi=λ1Xi，x1,x2...xm线性无关
Ayj=λ2yj，y1,y2...yn线性无关
且λ1≠λ2
设∑kixi+∑kjyj=0
则A(∑kixi+∑kjyj)=0
λ1∑kixi+λ2∑kjyj=0①
λ1(∑kixi+∑kjyj)=0
λ1∑kixi+λ1∑kjyj=0②
①-②
(λ1-λ2)∑kjyj=0
∵λ1≠λ2
∴∑kjyj=0
∵y1,y2,……ym线性无关
∴kj=0
∴∑kixi=0
所以ki=0
所以x1,x2...xm，y1,y2...yn线性无关
对于多个特征值则可用数学归纳法证明
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