Question

不在圆上的点与圆上哪点距离最大和最小?并证明

Answer 1

不在圆上的点与圆上哪点距离最大和最小?并证明

作图：设P为圆O外的一点，连接PO与圆相交于N，那么︱PN︱就是点P与圆上各点距离的最小 

    值； 延长PO到与圆相交于另一点M，则︱PM︱就是点P与圆上各点距离的最大值；

证明：在圆上另取异于N的点S，连接PS，SO；显然︱PS︱+︱SO︱>︱PO︱；由于SO和NO

   都是圆的半径，故SO=N0；故︱PS︱+︱SO︱=︱PS︱+︱NO︱>︱PO︱=︱PN︱+︱NO︱，

   从不等式中消去︱NO︱，即得︱PS︱>︱PN︱； S是圆上异于N的任意一点，故该不等式恒

   成立。于是便证明了︱PN︱是最小的。

再在圆O上另任取一异于M的点T，连接TN，TM；因为MN是直径，故∠MTN=90°，于是得一不

等式：∠MTP=∠MTN+∠NTP>90°，∠PMT<90°；所以在△NTP中，︱PM︱>︱PT︱；T是圆o

上任意异于M的点，故该不等式恒成立。于是便证明了︱PN︱是最大的。

 

Answer 2

如上图，

P  是圆外任意一点，O为圆心，连接PO，与圆交于A ，B 两点，A1是圆上异与A ，B两点的任意一点。∵A ，B ，A1 都是圆上的点∴O A =O B =O A1

在△PO A1中 ，根据三角形三边的 不等关系 可知： 

PO＋O A1＞PA1 （两边之和大于第三边），

∵O A =O A1

∴PO＋O A1 = PO＋O A =  PA

∴PA＞PA1

即A是圆上距离圆外一点P最大

同理 

在△PO A1中 ，根据三角形三边的 不等关系 可知：

PO -O A1 ＜ PA1（两边之差小于第三边）

∵O A1=O B

∴PO -O A1 ＝PO - O B＝PB＜ PA1

∴PB＜ PA1

即B是圆上距离圆外一点P最小

 

Answer 3

你问的应该是圆外的点与圆上哪点距离最大或最小吧？
很简单的
设圆外一点为P 圆心为C
则连接PC 交圆于Q点 则PQ为距离最小的点
延长PC交圆于M点 则PM为距离最大的点
画图看一下就很容易明白了

追问

如何证明呢

追答

一般这类题都是只让求最值 而不需要证明的吧
如果要证明的话 可以试一下这么去做：
需要把圆上的点的坐标用参数方程表示出来(a+rcosθ,b+rsinθ)
圆外一点设为P(x,y)
利用两点间距离公式来求最值

Answer 4

将该点与圆心相连，与圆的两个交点最近和最远

Answer 5

该点与圆心相连的一条直线，两个端点就是最小最大值