Question

证明收敛数列的有界性的问题

过程如下：
因为数列{xn}收敛，设lim xn=a,根据数列极限的定义，对于ε=1，存在正整数N，当n>N时，，不等式|xn-a|<1都成立。于是，当n>N时，|xn|=|(xn-a)+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|.
取M=max{|x1|,|x2|,...|xn|,1+|a|},那么数列{xn}中的一切xn都满足不等式|xn|≤M

我的问题是，为什么要让ε=1，就算不给ε一个值，似乎也可以证明啊？
还有“于是，当n>N时，|xn|=|(xn-a)+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|.
取M=max{|x1|,|x2|,...|xn|,1+|a|}”这一步意义何在？

Answer 1

ε的值取多少无所谓，只是证明题比较喜欢取1，计算方便。取1/2,1/3,1/4之类的，或者不取，都行。
|xn|=|(xn-a)+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|.取M=max{|x1|,|x2|,...|xn|,1+|a|}，这一步的意义在于限制{xn}的范围。本来{xn}是个无穷数列，有无穷个数，要说明它们有界，前N个数可以列出（有限个数肯定有界），后面的无穷个数就只能用范围来限定了，也就是|xn|＜1+a。这样一来，无限个数就被限制在有限范围内了。

Answer 2

这里的ε是任意取得，不管取什么正数不影响结论，只要取定后则n>N时xn就有界了
由于N是确定的自然数，所以n<=N只有有限项即N项，显然也有界，他们的绝对值最大者是前N项一个上界
为了使xn对一切自然数有上界，必须取前面两种情况的较大者，即M=max{|x1|,|x2|,...|xn|,1+|a|}
这个M才是xn的一个上界。
从几何上看，这个意义很明显，即夹在(x-ε,x+ε)的项xn无限多，外面总是有限项，因此必能被某个
(x-M,x+M)所包含