Question

有道极限题

设数列{xn}的一般项xn=(1/n)·cos nπ/2.问lim xn=?求出N，使当n>N时，xn与其极限之差的绝对值小于正数ε。当ε=0.001时，求出数N。

求详解！

Answer 1

limxn=0,因为1/n->0，而|cosnπ/2|≤1，则limxn≤lim1/n=0
N的求法：因为cosnπ/2的绝对值按照0,1周期变化，所以应该满足1/N=ε
当ε=0.001时，N=1000

追问

为什么
cosnπ/2的绝对值按照0,1周期变化，所以应该满足1/N=ε?

追答

这只是一种比较保守的取法，实际范围可能稍微大一点，因为不知道N=1/ε时，|cosNπ|是0还是1。
比如ε=0.001时，若取N=1000，|cosNπ|=1；如果取N=999，那么n=1000就不满足条件了，就不行。
但是，如果N=1/ε时，|cosNπ|=0，那么就可以取N=1/ε-1