Question

在△ABC中,AC=BC,△DEC中,DC=EC,且∠ACB=∠DCE,当把两个三角形如图①放置时,有AD=BE。

（1）当把△DCE旋转一定角度时，得到图②，图③，此时是否仍有AD=BE？（2）当CD和BC在一条直线上时，连接AD，EB，分别交CE于N，AC于M，它们的交点为P，连接PC，PC平分∠BPD吗？

Answer 1

(1)②AD=BE
∵△ABC和△DCE是等腰三角形
AC=BC，DC=DE
∠ACB=∠DCE
即∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠ACD
得∠BCE=∠ACD
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴AD=BE
③AD=BE
∵△ABC和△DCE是等腰三角形
AC=BC，DC=DE
∠ACB=∠DCE
即∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠DCE
得∠BCE=∠ACD
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴AD=BE
(2)PC平分∠BPD
∵∠ACB=∠DCE
∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE
即∠BCE=∠DCA
∵AC=BC，DC=DE
∴△BCE≌△ACD
∴∠CAD=∠CBE，∠BEC=∠ADC
∵∠AMP=∠BMC，∠PNE=∠CND
∴△AMP∽△BMC，△PNE∽△CND
∴AM×NC=BM×MP，PN×ND=CN×NE
∴A、B、C、P四点共圆；P、C、D、E四点共圆
∴∠CPD=∠ABC，∠BPC=∠CDE
∵AC=BC，DC=DE即AC/EC=BC/DC
∠ACB=∠DCE
∴△ABC∽△DCE
∴∠ABC=∠CDE
∴∠BPC=∠CPD
∴PC平分∠BPD

Answer 2

(1)仍有AD=BE.
证明：如图②，图③
∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
又∵AC=BC,DC=EC
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE
(2)PC平分∠BPD.
同上，仍有△ACD≌△BCE
∴∠CAD=∠CBE
过点C作CG⊥AD于G,作CH⊥BE于H
∵AC=BC，∠CAD=∠CBE ，∠AGC=∠BHC=90°
∴△ACG≌△BCH
∴CG=CH
∴PC平分∠BPD
图形自己画吧。