Question

函数f(x)=ax^2+x-a(x∈[-1,1])的最大值为M(a),则对于一切a∈[-1,1],M(a)的最大值为?

答案是5/4,求过程

Answer 1

1，若-1《a〈-1/2，此时x=-1/2a在[1/2，1]间，所以M（a）=f（-1/2）=1/2-3a/4所以M（a）max=M（-1）=5/4
2，若-1/2《a〈0，此时x=-1/2a在[1，+无穷]间，所以M（a）=f（0）=-a所以M（a）max=M（-1/2）=1/2
3，若0《a〈1/2，此时x=-1/2a在[-无穷，-1]间，所以M（a）=f（1/2）=1/2-3a/4所以M（a）max=M（0）=1/2
4，若1/2《a〈1，此时x=-1/2a在[-1，-1/2]间，所以M（a）=f（1）=1所以M（a）max=1
比较的出M（a）max=5/4

Answer 2

如果 0<a≤1
根据二次函数的曲线 开口向上 f(x)的最大值 就是f(-1)或者f(1)
f(-1)=-1，f(1)=1 那么M（a）=1
如果 a=0 f(x)=x M(a)=1
如果 -1≤a<-1/2
根据二次函数的曲线 开口向下
f(x)的最大值为 M(a)=f(-1/(a2))=-1/4a-a
M(a)'=1/(4a^2)-1>0 M（a）下凸包 ，最大值两端
M(a)的最大值为M（-1/2)=1或者 M（-1)=5/4
如果 -1/2<a<0
f(x)的对称轴在1的右侧
M（a)=f（1）=1
综上所述 M(a)的最大值为M（-1）=5/4 即f(x)=-x^2+x+1当x=-1/2时f(x)值最大