Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c的图像过原点,对于任意x∈R,恒有f(1-x)=f(1+x)成立,且方程

已知函数f(x)=ax²+bx+c的图像过原点,对于任意x∈R,恒有f(1-x)=f(1+x)成立,且方程f（x）=x有两个相等的实根 。 求f（x）的解析式。

Answer 1

函数f(x)=ax²+bx+c的图像过原点，则f(0)=0，得：c=0；
f(1-x)=f(1+x)这个条件告诉你的是对称轴是x=1；
即：-b/2a=1，得：b=-2a
所以：f(x)=ax²-2ax
f(x)=x即：ax²-2ax=x
ax²-(2a+1)x=0
x(ax-2a-2)=0
显然有一根是x1=0，令一根是x2=(2a+1)/a
因为有等根，
所以：2a+1=0，得：a=-1/2
则b=-2a=1
所以：f(x)=-x²/2+x

函数中的一个重要结论：若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则该函数关于直线x=(a+b)/2对称。
这个定律有个推论：若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则该函数关于直线x=a对称。

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Answer 2

f(x)=ax²+bx+c的图像过原点，因此有一个根是x=0

对于任意x∈R,恒有f(1-x)=f(1+x)成立

所以对称轴是x=1
所以另一个根是x=2
所以解析式是
f(x)=ax(x-2)
方程f（x）=x有两个相等的实根

ax(x-2)=x
ax^2-(2a+1)x=0
很明显
2a+1=0
a=-1/2
f(x)=-1/2x(x-2)
=-1/2x^2+x

Answer 3

∵f（x）过原点
∴f（0）=0
c=0
∵f（1-x）=f（1+x）
∴a（1-x）²+b（1-x）+c=a（1+x）²+b（1+x）+c
4ax+2bx=0
（4a+2b）x=0
∴4a+2b=0
b=-2a
f（x）=ax²-2ax
∵f（x）=x有两个相等实根

∴ax²-2ax=x有两个相等实根
ax²-（2a+1）x=0
a≠0，且△=（-（2a+1））²-0=0
2a+1=0
a=-1/2
∴b=1
∴f（x）=（-1/2）x²+x

Answer 4

过原点：f(0)=0,所以c=0；
f(x)=x有两相等实根：（b-1）*（b-1）-4ac=0,因为c=0,所以b=1;
即f(x)==ax²+x,因为对于任意x∈R,恒有f(1-x)=f(1+x)成立，所以a=-0.5;

Answer 5

∵a≠0
又∵f（0）=0
∴c=0
f（1-x）=a（1-x）^2+b（1-x）
f（1+x）=a（1+x）^2+b（1+x）
有-2ax-bx=2ax+bx

△＝0
b^2-4a=0
2a=b^2/2

∴-b=2
b=-2
a=1

∴f(x)=x^2-2x

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