Question

函数y=x^2-2x-3/x^2-1的值域为多少

Answer 1

解：
【法一】
定义域x²-1≠0
解得x≠±1
y=(x²-2x-3)/(x²-1)
=[(x+1)(x-3)]/[(x+1)(x-1)]
=(x-3)/(x-1)
=1-2/(x-1)
当x=-1时，y=1-2/(-1-1)=2
又x≠-1，所以y≠2

因为2/(x-1)≠0，所以y≠1

所以值域为(-∞，1)∪(1，2)∪(2，+∞)

【法二】
判别式法：
y=(x²-2x-3)/(x²-1)
yx²-y=x²-2x-3
(y-1)x²+2x+3-y=0 ①
①y-1≠0时，
因为x存在
所以
△=2²-4(y-1)(3-y)≥0
即 y²+2y+2≥0
因为y²+2y+2=(y+1)²+1＞0恒成立
②y-1=0时，即y=1
将y=1代入①得 2x+2=0，解得x=-1
又当x=-1时，x²-1=0 不满足定义域，舍去
故y≠1

由①知y≠2

综上：值域y∈(-∞，1)∪(1，2)∪(2，+∞)

Answer 2

y=(x²-2x-3)/(x²-1) (x≠±1)
=[(x+1)(x-3)]/[(x+1)(x-1)]
=(x-3)/(x-1)
=[(x-1)-2]/(x-1)
=1-[2/(x-1)]
因为2/(x-1)≠0，且由x≠-1得：2/(x-1)≠2/(-1-1)=-1
所以1-[2/(x-1)]≠1，且1-[2/(x-1)]≠2
即y≠1，且y≠2，也即值域为(-∞，1)∪(1，2)∪(2，+∞)

Answer 3

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