Question

设双曲线x²/a²—y²/b²=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x²+1相切

则该双曲线的离心率等于多少？

Answer 1

设渐近线是y=kx
则y=kx=x²+1
x²-kx+1=0
相切则△=0
k²-4=0
k=±2
斜率是±b/a=±2
b=2a
则c²=a²+b²=5a²
c²/a²=5
所以e=c/a=√5

Answer 2

双曲线x²/a²—y²/b²=1(a>0,b>0)的渐近线方程为

x²/a²—y²/b²=0

y=±bx/a
任意选一条，代入抛物线方程得
bx/a=x^2+1

△=(b/a)^2-4
由于相切
故△=(b/a)^2-4=0
b=2a
c^2=b^2+a^2=5a^2
e=c/a=√5

Answer 3

双曲线的渐近线是y=±(b/a)x
则：直线y=±(b/a)x与抛物线y=x²＋1相切，得：
x²±(b/a)x＋1=0
判别式=(b/a)²－4=0，得：b=2a，则：
c²=a²＋b²=5a²
e=c/a=√5