Question

《高数题求助》设f(x)在区间[0,2]连续，(0,2)内可导。f(0)=1,f(1)=f(2)=1.

证明：存在一点ξ∈（0，1）使得f'(ξ)=2(1-ξ)f(ξ)

Answer 1

F(x)=f(x)e^[(1-x)^2]
设a∈(0,1)使得
F'(a)=[F(1)-F(0)]/(1-0)
=1-e<0
设b∈(1,2)使得
F'(b)=[F(2)-F(1)]/(2-1)
=e-1>0
所以，在x∈(0,1)时F(x)单减
x∈(1,2)时，F(x)单增
F(1)为极值点
所以必存在极值点ξ∈(0,2)使得F'(ξ)=0
(直接用介值定理也可)

如果确实是要证明的是ξ∈（0，1）的话，当我没说，我不会做

Answer 2

题目有点问题,设f(x)=1,结论证不了