Question

根号下[(x-a)/(x-b)]的不定积分怎么求？

Answer 1

令√［（x－a）/（x－b）］＝u，则：（x－a）/（x－b）＝u^2，
∴x－a＝u^2x－bu^2，∴（1－u^2）x＝a－bu^2，∴x＝（a－bu^2）/（1－u^2），
∴dx
＝｛［－2bu（1－u^2）＋2u（a－bu^2）］/（1－u^2）^2｝du
＝［（－2bu＋2bu^3＋2au－2bu^3）/（1－u^2）^2］du
＝2（a－b）［u/（1－u^2）^2］du。

∴∫√［（x－a）/（x－b）］dx
＝2（a－b）∫［u^2/（1－u^2）^2］du
＝2（b－a）∫［（1－u^2－1）/（1－u^2）^2］du
＝2（b－a）∫［1/（1－u^2）］du－2（b－a）∫［1/（1－u^2）^2］du
＝（b－a）∫［（1＋u＋1－u）/（1－u^2）］du
　－（1/2）（b－a）∫［（1＋u＋1－u）/（1－u^2）］^2du
＝（b－a）∫［1/（1－u）］du＋（b－a）∫［1/（1＋u）］du
　－（1/2）（b－a）∫［1/（1－u）^2］du－（1/2）（b－a）∫［1/（1＋u）^2］du
＝－（b－a）ln｜1－u｜＋（b－a）ln｜1＋u｜
　＋（b－a）［1/（1－u）］－（b－a）［1/（1＋u）］＋C
＝（b－a）ln｜1＋√［（x－a）/（x－b）］｜－（b－a）ln｜1－√［（x－a）/（x－b）］｜
　＋（b－a）/｛1－√［（x－a）/（x－b）］｝－（b－a）/｛1＋√［（x－a）/（x－b）］｝＋C。

Answer 2

楼上少了个根号
令√[(x-a)/(x-b)]=u，然后解出u=......，再算出dx=....
然后积分，计算量很大的。我把结果给你，是用数学软件算出来的。这种题不宜手工计算。

(1/2)*sqrt((x-a)/(x-b))*(x-b)*(2*sqrt(x^2-x*b-x*a+a*b)+ln(-(1/2)*b-(1/2)*a+x+sqrt(x^2-x*b-x*a+a*b))*b-ln(-(1/2)*b-(1/2)*a+x+sqrt(x^2-x*b-x*a+a*b))*a)/sqrt((x-a)*(x-b))